On some Generalized q-Eulerian Polynomials

The (q, r)-Eulerian polynomials are the (maj−exc, fix, exc) enumerative polynomials of permutations. Using Shareshian and Wachs’ exponential generating function of these Eulerian polynomials, Chung and Graham proved two symmetrical q-Eulerian identities and asked for bijective proofs. We provide such proofs using Foata and Han’s three-variable statistic (inv−lec, pix, lec). We also prove a new recurrence formula for the (q, r)-Eulerian polynomials and study a q-analogue of Chung and Graham’s restricted Eulerian polynomials. In particular, we obtain a symmetrical identity for these restricted q-Eulerian polynomials with a combinatorial proof. Résumé. Les (q, r)-polynômes Eulériens sont les polynomômes énumératives des permutations par rapport au poids (maj−exc, fix, exc). En utilisant la fonction génératrice de ces polynômes Eulériens due à Shareshien et Wachs, Chung et Graham ont démontré deux identités symétriques q-Eulériennes et demandé des preuves bijectives. Nous donnons de telles preuves en utilisant les statistiques trivariées (inv−lec, pix, lec) de Foata et Han. Nous démontrons aussi une nouvelle récurrence pour ces (q, r)-polynômes Eulériens et étudions un q-analogue des polynômes Eulériens restreints de Chung et Graham. En particulier, nous obtenons une identité symétrique pour ces q-polynômes Eulériens restreints avec une preuve combinatoire.